Question

高中数学题 求大家帮我看一下21的第二问 比较偏向于用分离参变量 不是也没关系

Answer 1

21.(1)a=1.
(2)f(x)=e^x-x-1,x=0时不等式成立。
x>0时不等式变为m<=(e^x-x-1)/[xln(x+1)],记为g(x),
x→0+时g(x)→（e^x-1）/[ln(x+1)+x/(x+1)]
→e^x/[1/(x+1)+1/(x+1)^2]
→1/2.
下面证明，h(x)=2(e^x-x-1)-xln(x+1)(x>0)非负。事实上，
h'(x)=2(e^x-1)-ln(x+1)-x/(x+1),
h''(x)=2e^x-1/(x+1)-1/(x+1)^2为增函数，
∴h''(x)>=h''(0)=0,
∴h'(x)是增函数，h'(x)>=h'(0)=0,
∴h(x)是增函数，h(x)>=h(0)=0.
于是m<=1/2,为所求。