Question

高数题目11

高数题目11设f(x)=e^x+4∫0到x (x-t)f(t)dt,求f(x)

Answer 1

①对f（x）=e^x+4∫0到x (x-t)f(t)dt求一阶导，
f（x）’=e^x+4∫0到x (x-t)f(t)dt
=e^x+4[x∫0到x f(t)dt - ∫0到x tf(t)dt]
=e^x+4[∫0到x f(t)dt +xf(x)-xf(x)]
=e^x+4∫0到x f(t)dt
②求二阶导f（x）‘’=e^x+4 f(x)
可以得到一个二阶常系数非齐次方程 f（x）''- 4 f(x)=e^x
③求解常微分方程得出f（x）
r^2-4r=0 得r1=0，r2=4
所以通解为：α+(β)e^(4x） α、β为常数
其特解：y*=a*e^x ；
求特解的二阶导解出a的值 （y*)'=a*e^x ； y*)''=a*e^x 代入 f（x）''- 4 f(x)=e^x
得到a=-1/3 即 y*=-1/3 *e^x ；
所以f（x）的通解为α+(β)e^(4x）-1/3 *e^x
又因为f(0)=1； f(0)'=1代入到通解可解出α=1，β=1/3
所以f（x）=1+1/3*e^(4x）-1/3 *e^x