Question

高中数学立体几何向量

高中数学立体几何向量麻烦用纯向量的方法解决这道题谢谢大佬们！

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Answer 1

已知：棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D中，点E、F分别是棱BC、CC1的中点，P是BCC1B1内的一点，求：若A1P//平面AEF，则A1P长度的取值（这道题可能是出错了，我看不出，A1P和B1P能有与平面AEF平行的曲线），但是，C1P和D1P有这样的直线。
解：1、建立平面AEF的平面方程。建立直角坐标体系：以A为原点O，以→AB为x轴，→DA为y轴，→AA1为z轴，建立三维直角坐标体系；则设平面AEF为Ax+By+z=0.....(1); 点A、E、F的坐标分别为：（0，0，0），（1，-1/2，0），（1，-1，1/2）；将点E、F坐标分别代入方程(1)，得：A-B/2=0.....(2)，A-B+1/2=0.....(3), 解式（2）和（3）联立的方程组，解得： A=1/2，B=1；代入式(1)，得解析式为：f(x)=x/2+y+z=0......(4); 平面AEF的法向量→n{1/2,1,1};
点A1和P的坐标分别是：（0，0，1），（1，y，z），令x=1.y=acost,z=sint 向量→A1P{1,acost,asint};
令(→n)X(→A1P)=0 ，1*(sint)-1cost=0, 1*1-1/2*sint=0, 1/2*cost-1*1=0, 解得：cost=2，结果矛盾，说明→A1P没有平行于平面AEF的直线存在。
如果是→C1P，点C1的坐标（1，-1，1），π{0,acost+1,asint-1} (→n)X(→C1P)= 0; (asint-1)*1/2-0=0, 0-1*(acost+1)=0, 1*(asint-1)-1*(acost+1)=0; 解得：acost=-1，asint=1, acost+1=asint-1, 由这三个等式解得：a=√2，t=π-π/4；得向量C1P{0,-1,1};看起来与→EF向量一致；直线方程为: x恒=1...........(5) ， z=-y .......(6); y的定义域为[-1，0]; 与实际情况一致。
C1P长度的取值为：【0，√2】