Question

设函数f(x)=|ax-x²|+2b,当b=0时

Answer 1

• f(x)=|ax-x²|  x∈[0,2]

  令g(x)=f(x)-2x
  

1. a=0

   g(x)=x²-2x≤0 恒成立

2. a>2

   g(x)=ax-x²-2x≤0→x[x-(a-2)]≥0→x≥a-2 不等式不恒成立

3. 0≤a≤2

   g(x)=x²-ax-2x=x[x-(a+2)]≤0 0≤x≤a  0≤x≤a+2 不等式恒成立

   g(x)=ax-x²-2x   a<x≤2 →x[x-(a-2)]≥0→x≥a-2 不等式恒成立

4. a<0

   f(2)=|2a-4|-4=4-2a-4=-2a>0 不等式不恒成立

   综上a∈[0,2]

Answer 2

b=0
f(x)=|ax-x²|≤2x 在[0,2]上恒成立
x=0时,a取任意实数|ax-x²|≤2x恒成立
x∈(0,2],|ax-x²|≤2x恒成立
即 x-2≤a≤x+2,x∈(0,2]恒成立
x∈(0,2]时,x-2的值域是(-2,0],x+2的值域是(2,4]
得0≤a≤2
所以 a的取值范围是[0,2]