Question

设函数f(x)=x|x-a|+b，常数b<0.

设函数f(x)=x|x-a|+b，常数b<0.
（1）当a<=0时，判断f(x)在[0，1]上的单调性
（2）若对任意x∈[0，1]，f(x)＜0恒成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

(1)当a<=0时，f(x)=x|x-a|+b=x(x-a)+b=x²-ax+b
f`(x)=2x-a在[0，1]大于零
所以当a<=0时,f(x)在[0，1]上单调递增
(2)当x<a时,f(x)=ax-x²+b
若a=1,使f(x)max=f(1/2)=1/4+b<0,需b<-1/4
即a=1且b<-1/4
若a>1,则f`(x)=(ax-x²+b)`=a-2x
若a<2,则f(x)max=f(a)=a²-a²+b<0成立
若a>2,则使f(x)max=f(1)=a-1+b<0成立,
需a<1-b,其中b<-1
当b=-1时f(x)<0恒成立的条件仍为a<b-1
若a=2,使f(x)max=f(1)=1+b<0成立,
需a<1-b,其中b<-1
综合以上为 1<a<1-b 其中b≤-1
当x>a时,若a<0,f(x)=x²-ax+b,f`(x)=2x-a>0,
使f(x)max=f(1)=1-a+b<0成立,需a>-1-b
即-1-b<a<0 ,其中b>-1
若a=0,f(x)=x²+b,使f(x)max=f(1)=1+b<0,需b<-1
即a=0且b<-1
综合以上讨论,当 b<-1 时, a的范围为a=0或1≤a<1-b
当 b=-1 时, a的范围为1≤a<1-b
当-1<b<-1/4时, a的范围为-1-b<a<0或a=1
当 b≥1/4时, a的范围为-1-b<a<0