Question

∫x/√(x²+2x+2)dx怎么求？

Answer 1

利用不定积分的凑微分法，可得到此不定积分的求解过程如下图所示：

Answer 2

∫x/√(x²+2x+2)dx

=½∫(x+2)/√(x²+2x+2)dx-∫1/√(x²+2x+2)dx

=½∫d(x²+2x+2)/√(x²+2x+2)-∫d(x+1)/√(x²+2x+1+1)

=√(x²+2x+2)-∫d(x+1)/√[1+(x+1)²]

∫dx/√(1+x²)

=∫dx[x+√(1+x²)]/{√(1+x²)·√[x+√(1+x²)]}   分子分母同乘[x+√(1+x²)]

=∫dx√[x/√(1+x²)+1]/√[x+√(1+x²)]   分子分母同除√(1+x²)

=d[x+√(1+x²)]/√[x+√(1+x²)]

=ln[x+√(1+x²)]+C

∴原积分=√(x²+2x+2)-ln[(x+1)+√(x²+2x+2)]+C

Answer 3

第一步：令x+1=u
dx=du
不定积分可转化为
(u-1)du/根号(u^2+1)
=udu/根号(u^2+1)-du/根号(u^2+1)
第二步：求前面部分不定积分。
udu/根号(u^2+1)
=d(u^2+1)/[2根号(u^2+1)]
=根号(u^2+1)+C1
=根号(x^2+2x+2)+C1
第三步：求后面不定积分。
令u=tanθ
du=(secθ)^2dθ
根号(u^2+1)=|secθ|
所以，
du/根号(u^+1)
=|secθ|dθ
=|ln|secθ+tanθ||+C2
=|ln|u±根号(u^2+1)||+C2
=|ln|(x+1)±根号(x^2+2x+2)||+C2
第四步：最终的不定积分。
根号(x^2+2x+2)-|ln|(x+1)±根号(x^2+2x+2)||+C
第五步：验证。
(根号(x^2+2x+2))'
=(x+1)/根号(x^2+2x+2)
ln(x+1+根号(x^2+2x+2))'
=[1+(x+1)/根号(x^2+2x+2)]/[x+1+根号(x^2+2x+2)]
=1/根号(x^2+2x+2)
ln(x+1-根号(x^2+2x+2))'
=[1-(x+1)/根号(x^2+2x+2)]/[(x+1)-根号(x^2+2x+2)]
=-1/根号(x^2+2x+2)
所以，不定积分求解正确。

Answer 4

直接套公式即可

Answer 5

∫ x/∨(x²＋2x＋2) dx
＝∫ x/∨[(x＋1)²＋1] dx ⑴
令 x＋1＝tanθ，θ∈(－π/2，π/2)
secθ＝∨(x²＋2x＋2）
x＝tanθ－1，dx＝sec²θdθ
则(1)式＝∫ (tanθ－1)/secθ ×sec²θdθ
＝∫ (tanθsecθ－secθ）dθ
＝secθ－㏑|secθ＋tanθ| ＋C
＝∨(x²＋2x＋2) －㏑|x＋1＋∨(x²＋2x＋2)| ＋ C