Question

微分方程的通解怎么求

如图，先求左边再求右边吗

Answer 1

先求对应的齐次方程dy/dx=2y/(x+1)的通解
dy/y=2dx/(x+1)
ln|y|=2ln|x+1|+ln|c|
y=c (x+1)²
由常数变易法，令y=c(x)(x+1)²
则dy/dx=c'(x)(x+1)²+2c(x)(x+1)
代入原方程得
c'(x)(x+1)²=(x+1)^(5/2)
c'(x)=(x+1)^(1/2)
c(x)=2/3 (x+1)^(3/2)+C
故原方程的通解为y=2/3 (x+1)^(7/2) +C(x+1)²

Answer 2

Answer 3

微分方程的通解是一个函数表达式y=f(x)，其中一阶线性常微分方程通解方法为常数变易法；二阶常系数齐次常微分方程通解方法为求出其特征方程的解。偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。

Answer 4

Answer 5

解：微分方程为dy/dx-2y/(x+1)=(x+1)²√(x+1)，化为

y'/(x+1)²-2y/(x+1)³=√(x+1)，[y/(x+1)²]'=√(x+1)，

y/(x+1)²=(2/3)(x+1)√(x+1)+c(c为任意常数)，

方程的通解为y=(2/3)(x+1)³√(x+1)+c(x+1)²

一阶线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)

当Q(x)不恒等于0时，为非齐次线性方程，基于对应的齐次线性方程的通解，使用常数变易法，或者说待定函数法求解；也可以直接利用通过常数变易法得到的通解计算公式，直接得到通解，其中的不定积分都不带任意常数。

伯努利方程y'+P(x)y=Q(x)yⁿ⁺¹(n∈N⁺)

可以化为y'/yⁿ⁺¹+P(x)/yⁿ=Q(x)，设yⁿ=z，有

y'/yⁿ⁺¹=-z'/n，微分方程化为z'-nP(x)z=-nQ(x)，

转换为一阶线性微分方程求解

请参考