Question

数学问题啊

Answer 1

第一问，在三角形ACB1中，用三角形相似证明DE是中位线。
第二问，在正方形BB1C1C中易证BC1垂直于B1C；先证明AB垂直于面BB1C1C，就可证BC1垂直于AC；综合可得BC1垂直于面ACB1。
第三问，把DEB1看作底，由第二问的结论易得BE垂直于底。很容易算出BE＝B1E＝(√2/2)a，DE＝1/2a。前面已证DE∥AC，AC⊥CB1，即EB1，代公式即可算得体积。

Answer 2

Answer 3

（1）、因为在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AC⊥BC，AC=BC=CC₁，
易知四边形BB₁C₁C为正方形，所以点E为BC₁和B₁C的中点，
又因为DE∥平面ABC，平面ABC∩平面AB₁C=AC，所以DE∥AC，
则DE为△AB₁C的中位线，可知点D为AB₁的中点。
（2）、因为在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AC⊥BC，易知AC⊥平面BB₁C₁C，
BC₁在平面BB₁C₁C上，所以AC⊥BC₁，
又因为题(1)已证四边形BB₁C₁C为正方形，有BC₁⊥B₁C，
且AC、B₁C均在平面AB₁C上，AC∩B₁C=C，所以BC₁⊥平面AB₁C。
（3）、由题(1)、(2)结论DE∥AC，AC⊥平面BB₁C₁C可知DE⊥平面BB₁C₁C，
即DE为三棱锥B-DEB₁在底面BB₁E上的高，
因为DE为△AB₁C的中位线，所以DE=a/2，
在边长为a的正方形BB₁C₁C中△BB₁E的面积=a²/4，
所以三棱锥B-DEB₁的体积=△BB₁E的面积×DE×1/3=(a²/4)×(a/2)×1/3=a³/24。