数学问题啊
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2019-08-20
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(1)、因为在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AC⊥BC,AC=BC=CC₁,
易知四边形BB₁C₁C为正方形,所以点E为BC₁和B₁C的中点,
又因为DE∥平面ABC,平面ABC∩平面AB₁C=AC,所以DE∥AC,
则DE为△AB₁C的中位线,可知点D为AB₁的中点。
(2)、因为在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AC⊥BC,易知AC⊥平面BB₁C₁C,
BC₁在平面BB₁C₁C上,所以AC⊥BC₁,
又因为题(1)已证四边形BB₁C₁C为正方形,有BC₁⊥B₁C,
且AC、B₁C均在平面AB₁C上,AC∩B₁C=C,所以BC₁⊥平面AB₁C。
(3)、由题(1)、(2)结论DE∥AC,AC⊥平面BB₁C₁C可知DE⊥平面BB₁C₁C,
即DE为三棱锥B-DEB₁在底面BB₁E上的高,
因为DE为△AB₁C的中位线,所以DE=a/2,
在边长为a的正方形BB₁C₁C中△BB₁E的面积=a²/4,
所以三棱锥B-DEB₁的体积=△BB₁E的面积×DE×1/3=(a²/4)×(a/2)×1/3=a³/24。
易知四边形BB₁C₁C为正方形,所以点E为BC₁和B₁C的中点,
又因为DE∥平面ABC,平面ABC∩平面AB₁C=AC,所以DE∥AC,
则DE为△AB₁C的中位线,可知点D为AB₁的中点。
(2)、因为在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AC⊥BC,易知AC⊥平面BB₁C₁C,
BC₁在平面BB₁C₁C上,所以AC⊥BC₁,
又因为题(1)已证四边形BB₁C₁C为正方形,有BC₁⊥B₁C,
且AC、B₁C均在平面AB₁C上,AC∩B₁C=C,所以BC₁⊥平面AB₁C。
(3)、由题(1)、(2)结论DE∥AC,AC⊥平面BB₁C₁C可知DE⊥平面BB₁C₁C,
即DE为三棱锥B-DEB₁在底面BB₁E上的高,
因为DE为△AB₁C的中位线,所以DE=a/2,
在边长为a的正方形BB₁C₁C中△BB₁E的面积=a²/4,
所以三棱锥B-DEB₁的体积=△BB₁E的面积×DE×1/3=(a²/4)×(a/2)×1/3=a³/24。
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