Question

怎么解这道微分方程？

Answer 1

1、定义导数。当变量倾向于0的时候，函数（一般是y）增量和变量（一般是x）增量的比值会取得一个极限值，这就是导数（也称为微分系数，特别在英国）。或者说在一瞬间，变量的微小变化造成的函数的微小变化。以速度距离，速度就是距离对时间的瞬时变化。
2、不要混淆阶数（最高导数阶数）和次数（导数的最高次数）。最高导数次数是由最高阶导数的阶数决定的。导数的最高次数则是导数中的项的最高次数。比如图一的微分方程是二阶、三次导数。
3、了解如何区别通解、完全解和特解。完整解包含一些任意常数，任意常数的数目和导数的最高阶数相等（要解开n阶微分方程，需要进行n次积分，每次积分都需要加入一项任意常数）。例如在复利定律里，微分方程dy/dt=ky是一阶导数，完整解y = ce^(kt) 正好有一个任意常数。特解是用特定数字带入通解来获得的。

Answer 2

Answer 3

tan2a = 2tana/[1-(tana)^2]
y/x = 2y'/[1-(y')^2], 2xy' = y-y(y')^2,
y(y')^2 + 2xy' - y = 0
y' = [-x±√(x^2+y^2)]/y, 为齐次方程，令 y = xp，则
p+xdp/dx = [-1±√(1+p^2)]/p , xdp/dx = [-(1+p^2)±√(1+p^2)]/p
2pdp/[-(1+p^2)±√(1+p^2)] = 2dx/x
d(1+p^2)//[-(1+p^2)±√(1+p^2)] = 2dx/x, 记 √(1+p^2) = u
(1) du^2/(-u^2+u) = 2dx/x, du/(1-u) = dx/x, -du/(1-u) = -dx/x,
ln(1-u) = -lnx+lnC1, 1-u = C1/x, u = √(1+p^2) = 1-C1/x
p^2 = (C1/x)^2-2C1/x, p = dy/dx = ±√[(C1/x)^2-2C1/x]
y = ±∫√[(C1/x)^2-2C1/x]dx = .......
(2) du^2/(-u^2-u) = 2dx/x, -du/(1+u) = dx/x, du/(1+u) = -dx/x,
ln(1+u) = -lnx+lnC1, 1+u = C1/x, u = √(1+p^2) = C1/x-1
p^2 = (C1/x)^2-2C1/x, 与 (1) 同。
计算太复杂。

Answer 4

济南电视台少儿频道