Question

∫ 1/(x²+x+1)² dx，不定积分

Answer 1

∫ 1/(x²+x+1)² dx= 4/(3√3)*arctan[(2x+1)/√3] + (2x+1)/[3(x²+x+1)] + C。C为积分常数。

解答过程如下：

∫1/(x²+x+1)² dx

= ∫1/[(x+1/2)²+3/4]² dx

令x+1/2=√3/2*tanθ,dx=√3/2*sec²θ dθ

sinθ=(x+1/2)/√(x²+x+1),cosθ=(√3/2)/√(x²+x+1)

原式= (√3/2)∫sec²θ/(3/4*sec²θ)² dθ

= (√3/2)(16/9)∫sec²θ/sec⁴θ dθ

= 8/(3√3)*∫cos²θ dθ

= 4/(3√3)*∫(1+cos2θ) dθ

= 4/(3√3)*(θ+1/2*sin2θ) + C

= 4/(3√3)*arctan[(2x+1)/√3] + (2x+1)/[3(x²+x+1)] + C

扩展资料：

分部积分：

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

Answer 2

Answer 3

用三角换元，详细解答过程如下图片：

Answer 4

∫dx/(x²+x+1)
=4∫dx/(4x²+4x+1+3)
=4∫dx/[(2x+1)²+3]
= 4/3∫dx/{[(2x+1)/√3]²+1}
= 2/√3∫d[(2x+1)/√3]/{[(2x+1)/√3]²+1}
=2arctan[(2x+1)/√3]/√3+C