Question

在小于2019的所有正整数中,使得2^n-n^2能被7整除的n共有多少个？

Answer 1

不是求能被7整除的“n”吧！应该是求能使2^n–n^2被7整除的n有多少个吧！

n=5时，

2^5–5^2=32

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–25=7；

n=6时，

2^6–6^2=64–36=28；

n=10时，

2^10–10^2

=1024–100=924。

在2^n–n^2＜2019，且能被7整除的正整数，有以上三个。

即n等于5或6或者10。

下一个能使2^n-n²被7整除的n等于15，

而2^15-15²=32768＞2019。

Answer 2

要使得2ⁿ－n²能被7整除，相当于(2ⁿ－n²)╱7这个式子的结果为整数。
把式子拆成两项(负号不算入任何一项):2ⁿ╱7－n²╱7
只要第一项的余数和第二项的余数相等，那一相减就是余数被抵消了，也即得到了整数结果。
当n取1，2，3，4，5，6……时，第一项的余数为:
2，4，1，2，4，1……
可以发现余数是周期性变化的，周期为3个数。
当n取1，2，3，4，5，6……时，第二项的余数为:
1，4，2，2，4，1，0，1，4，2，2……
也能发现余数呈周期性变化，周期为7个数。
这样一来，(2ⁿ－n²)╱7的余数也是周期性变化的，且周期＝3×7＝21。
现在我们只要找n从1取到21时，两项余数相同的情况出现过多少次就行了。经过检查可以发现当n取2，4，5，6，10，156种情况时余数是相同的。
所以n依顺序从1变到2019时，每21个数内就有6个数能使2ⁿ－n²被7整除。
由于2019÷21＝96余3
所以这样的n共有96×6+1＝577个。
为什么会加1是因为还余3个数虽然凑不成一个完整的周期21，但是按照顺序，这3个数中的第二个能使两项余数相等，即满足题目要求。