求一道高数题13.
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求微分方程 (1-x²)y''-xy'=0的一条积分曲线,使其在原点处与曲线y=arctanx相切;
解:令y'=dy/dx=p,则y''=(d/dx)(dy/dx)=dp/dx;代入原式:
(1-x²)(dp/dx)-xp=0; 分离变量得:dp/p=[x/(1-x²)]dx=(1/2)[1/1-x)-1/(1+x)]dx;
积分之得:lnp=(1/2)∫[1/(1-x)-1/(1+x)]dx=(1/2)[-ln∣1-x∣-ln∣1+x∣]=-(1/2)ln[c₁∣1-x²∣];
故p=dy/dx=1/√[c₁∣1-x²∣];
再次分离变量得:dy=dx/√[c₁∣1-x²∣];
积分之得: y=(1/√c₁)∫dx/√(1-x²)=(1/√c₁)arcsinx+c₂;
因为与曲线y=arctanx在原点相切,故有y(0)=c₂=0;
求因为(arctanx)'∣(x=0)=1/(1+x²)∣(x=0)=1,故有p=dy/dx=1/√[c₁∣1-x²∣]∣(x=0)=1/√c₁=1
∴c₁=1; 于是得满足初始条件的特解为:y=arcsinx;
解:令y'=dy/dx=p,则y''=(d/dx)(dy/dx)=dp/dx;代入原式:
(1-x²)(dp/dx)-xp=0; 分离变量得:dp/p=[x/(1-x²)]dx=(1/2)[1/1-x)-1/(1+x)]dx;
积分之得:lnp=(1/2)∫[1/(1-x)-1/(1+x)]dx=(1/2)[-ln∣1-x∣-ln∣1+x∣]=-(1/2)ln[c₁∣1-x²∣];
故p=dy/dx=1/√[c₁∣1-x²∣];
再次分离变量得:dy=dx/√[c₁∣1-x²∣];
积分之得: y=(1/√c₁)∫dx/√(1-x²)=(1/√c₁)arcsinx+c₂;
因为与曲线y=arctanx在原点相切,故有y(0)=c₂=0;
求因为(arctanx)'∣(x=0)=1/(1+x²)∣(x=0)=1,故有p=dy/dx=1/√[c₁∣1-x²∣]∣(x=0)=1/√c₁=1
∴c₁=1; 于是得满足初始条件的特解为:y=arcsinx;
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