Question

已知函数 f(x)=x-2/x+a(2-lnx)，a＞0，讨论f(x)的单调性。

Answer 1

由题中式子中存在lnx。所以x>0
对f(x）求导得f'(x)=(x^2-ax+2)/x^2
改式子分母恒为零，只需考虑分子
令g(x)=x^2-ax+2
;
△=a^2-8
当△≤0,即a<2*(2^1/2)时
g(x)≥0恒成立，即f'(x)≥0恒成立,f(x)在x>0上单调递增
当△>0即a>2*(2^1/2)时
令g(x)=0
解得x1=[a-(a^2-8)^(1/2)]/2
,x2=[a+(a^2-8)^(1/2)]/2
g(x)
在[a-(a^2-8)^(1/2)]/2<x<[a+(a^2-8)^(1/2)]/2时小于0，

在0<x<[a-(a^2-8)^(1/2)]/2或x>la+(a^2-8)^(1/2)]/2时大于0
即可得f(x)在[a-(a^2-8)^(1/2)]/2<x<[a+(a^2-8)^(1/2)]/2上递减

在0<x<[a-(a^2-8)^(1/2)]/2或x>la+(a^2-8)^(1/2)]/2上递增