Question

设A，B，A+B,A逆+B逆 均为n阶可逆矩阵，则（A逆+B逆）的逆矩阵是多少

Answer 1

是A^{-1}(B+A)B^{-1}。

1、A逆+B逆，右边提出一个A逆，可得（E+B^-1A）A^-1..........（1）。

2、左边提取出一个B逆。

可得B^-1（B+A）A^-1..........（2）。

3、则所求式的逆，就是（2）的逆。

逆矩阵性质定理

可逆矩阵一定是方阵。

如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）。

若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

Answer 2

我来给你解答这道题
[本来A'表A的转置,但是我们为了书写方便A'在本回答中代表A的逆!!]
将线性代数的逆运算与初高中的倒数相结,也就是A'=1/A,看能得到什么
则(A'+B')'=((A+B)/AB)'=AB/(A+B)=AB(A+B)'
注意到这里用到了AB=BA,注意矩阵要特别强调,数乘自然满足交换律
此处我们得到第一个结论,当AB=BA时,所求为AB(A+B)'.
当AB与BA不相等时,找不到一个合理的表达式来表示所求.
因为A'+B'=A'(E+AB'),所以原则上要知道E+AB'的逆才能知道所求,而同理(E+AB')=(B+A)B'
所以A'+B'=A'(A+B)B'
运用求逆的脱衣原则得所求为B(A+B)'A