Question

单调有界定理，求数列极限：有详细过程

Answer 1

首先证明有上界，即对于任意的n，xn都小于等于某个常数c。
我们证明xn<=2，用数学归纳法证
1.x1=√2<2;
2.设xk<=2,x(k+1)=√(2+x(k))<=√(2+2)=2;
可知xn<2;
再证明xn单调递增：
刚才已经知道xn<=2，则xn=√(2+x(n-1))>=√(x(n-1)+x(n-1))=√2*x(n-1)>=
√x(n-1)*x(n-1)=x(n-1)；上面的推导式的依据都是x(n-1)<=2
所以xn>=x(n-1)，所以xn是单调增序列
以上就证明了xn序列单调增有上界，所以极限存在
事实上这个数列的极限就是2，计算极限可以这样算
设x为xn的极限，对式子xn=√(2+x(n-1))两边取极限有
x=√(2+x),解得x=2，可知x=2

Answer 2

由题意得an>0
取bn=1/an,则bn+1=√[(an+1)/an]=√(1+1/an)=√(1+bn)
作特征方程x=√(1+x),x>0,解得x=(1+√5)/2
|bn+1-(1+√5)/2|=|√(1+bn)-(1+√5)/2|
=|1+bn-(1+√5)²/4|/|√(1+bn)+(1+√5)/2|
=|bn-(1+√5)/2|/|√(1+bn)+(1+√5)/2|
<|bn-(1+√5)/2|/|(1+√5)/2|
=(√5-1)/2*|bn-(1+√5)/2|
得0<|bn-(√5+1)/2|<(√5-1)/2*|bn-1-(1+√5)/2|<...<[(√5-1)/2]^(n-1)*|b1-(1+√5)/2|
又∵lim(n→∞)[(√5-1)/2]^(n-1)*|b1-(1+√5)/2|=0
∴lim(n→∞)0=0
夹逼定理得lim(n→∞)|bn-(√5+1)/2|=0
∴lim(n→∞)bn=(√5+1)/2=1/an
∴lim(n→∞)an=2/(√5+1)=(√5-1)/2