Question

、证明ln(n!)^2<n(n-1) (n大于等于2）

Answer 1

n>3时有
n!^2=n!*n!
=[(n)*1][(n-1)*2].....[1*(n)]
<=[(n+1)^2/4]^n
所以：左边
<
n
ln(n+1)^2/4)
所证只需要证明：
ln((n+1)^2/4)
<
(n-1)
即[(n+1)/2]^2
<
e^(n-1)--------一式------------这里可以用函数导数证明右减左的函递增也可以。
下边是初等的说明：
左边等价于把n+1分为两数的积、
右边等价于把[(n-1)*e]拆成n-1个e的乘积。n>3时，右边不仅总和大，而且拆得细，所以右边大。证毕
象把数N分为几个数乘积，什么时候最大的情况，经常作的吧。
函数导数方法：f(x)=e^(x-1)
-(x+1)^2/4
f(x)导数＝e^(x-1)
-
(x+1)/2，在x>=2时导数显然大于0，函数递增。
而f(2)>0，所以x>2时，f(x)恒大于0,　即　一式成立，所以原有结论成立。