Question

设Xn>0,且 lim(X(n+1)/Xn)=A 证明 limXn的n次根号=A

Answer 1

该题可以这样证明
期间文字诸多表达不变LZ慢慢看
所求证的式子用S表示
每一项x(n+1)/xn用yn表示
并且令x1=y1
可以看出yn的极限为A
S=lim(y1*y2*y3……y(n-1))^(1/n)
=lim
e^[(1/n)(lny1+lny2+lny3+……+lny(n-1)]
=
e^[lim(1/n)(lny1+lny2+lny3+……+lny(n-1)]
由于yn的极限为A
那么1/n（lny1+lny2+……+lnyn)
的极限就是lim(lnyn)=lnA
(该步骤看不懂看参见下面的引理）
所以A=e^lnA=A
引理：
如果数列zn的极限为A
那么lim
(1/n)(z1+z2+……+zn)=A
该引理的证明可以用到极限语言证明
任给c>0
存在m
使得
n>m时
所有的zn∈(A-c
A+c)
那么(1/n)（z1+z2+z3+……+zn)=(1/n)(z1+z2+……+zm)
+
(1/n)(zm+1
+
zm+2
+……+zn)
→0+A