Question

1平方+2平方+3平方+....N平方 等于？我要解题过程

Answer 1

我记得我的初中数学老师讲过一个"阶差"的问题,就是说:一列数按照从小到大的顺序排列,然后用后面的数字减去前面的数字,这样每相邻的两个数字就能得到一个差,这就是上一列相邻两个数的阶差.然后再在这列数里面做阶差,就有得到了一列数......就这样反复,如果发现在做了某次阶差之后,得到了一列相等的数时,就数一数一共做了几次阶差,做了几次则这道题的通式就是一个几次函数.
比如你这列数是:1
5
14
30
55
91
.....
则做一次阶差后就是这样:
4
9
16
25
36
...
(5-1=4;14-5=9;30-14=16;..)
然后再做阶差:
5
7
9
11
.....
在做:
2
2
2
......
这样,通过做了3次阶差就得到了一系列相等的数:2
2
2
....
说明:"1
5
14
30
55
91
....."这列数的通式肯定为一个3此函数.
即:S=a*N^3+b*N^2+c*N+d
当N=1时,
S=1^2=1;
即:1^3*a+1^2*b+1*c+d=1
(1)
当N=2时,
S=1^2+2^2=5;
即:2^3*a+2^2*b+2*c+d=5
(2)
当N=3时,
S=1^2+2^2+3^2=14;
即:3^3*a+3^2*b+3*c+d=14
(3)
当N=4时,
S=1^2+2^2+3^2+4^2=30;
即:4^3*a+4^2*b+4*c+d=30
(4)
这样我们就得到了一个4元1次方程组,然后用加减消元法解:(2)-(1)=(5);
(3)-(2)=(6);(4)-(3)=(7);(6)-(5)=(8);(7)-(6)=(9);...
最后就解出来了:a=1/3
b=1/2
c=1/6
d=0
所以,1^2+2^2+3^2+...+N^2
=
1/3
*
N^3
+
1/2
*
N^2
+
1/6
*
N
你看一看对不对吧~

Answer 2

1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
证:（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b)

Answer 3

1平方+2平方+3平方+....N平方
=n(n+1)(2n+1)/6
然后用数学归纳法可加以证明