Question

设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,求f(x)

Answer 1

由于定积分是个 “数”，所以：

设A=∫(0_x) f(t)dt 则f(x)=e^x+A

A=∫(0_x) e^t+A dt

解出来A这个数就行了。

∴f(x)=(x+1)e^x

函数可导的条件：

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

由于f(x)连续，则∫(0,x)tf(x-t)dt可导，
由于f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt，因此f(x)可导
换元，令x-t=u，则dt=-du，u：x→0
f(x)=e^x-∫[x→0]
(x-u)f(u)du
=e^x+∫[0→x]
(x-u)f(u)du
=e^x+x∫[0→x]
f(u)du-∫[0→x]
uf(u)du
两边求导得
f
'(x)=e^x+∫[0→x]
f(u)du+xf(x)-xf(x)
=e^x+∫[0→x]
f(u)du
(1)
由∫[0→x]
f(u)du可导得：f
'(x)可导
(1)两边再求导得：f
''(x)=e^x+f(x)
二阶常系数非齐次线性微分方程
将x=0代入原式得：f(0)=1
将x=0代入(1)得：f
'(0)=1
这样问题转化为求解微分方程初值问题
f
''(x)-f(x)=e^x
f(0)=1
f
'(0)=1
特征方程为：r²-1=0，解得r=±1
因此齐次方程通解为：C1e^x+C2e^(-x)
设方程特解为：y*=axe^x
代入微分方程解得：a=1/2
因此微分方程通解为：f(x)=C1e^x+C2e^(-x)+(1/2)xe^x
将初始条件f(0)=1，f
'(0)=1代入得：f(x)=(3/4)e^x+(1/4)e^(-x)+(1/2)xe^x