Question

求解！大一高等数学，中值定理题，高手请帮忙！

设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导,有f(1)=∫xe^(1-x)f(x)dx（上限1，下限0），证明必存在ζ∈（0，1），使f'(ζ)=(1-ζ^(-1))f(ζ).

Answer 1

解：由积分中值定理知：f(1)=∫xe^(1-x)f(x)dx=ηe^(1-η)f(η),
η
∈（0，1）
;
对f'(ζ)=(1-ζ^(-1))f(ζ)变换得：
f'(ζ)/f(ζ)=1-ζ^(-1);
将ζ变为x，并对两边积分得：lnf（x）=x-lnx+C；
故设F(x)=lnf（x）-x+lnx
;
F(1)=lnf(1)-1+ln1=lnf(η)-η+lnη=F(η);
由Roll定理知ζ∈（0，1），使F’（ζ）=0
即f'(ζ)=(1-ζ^(-1))f(ζ).