Question

1/根号下1+x^2的定积分是什么？

Answer 1

计算过程如下：

x=sinθ，dx=cosθdθ

∫√(1+x²)dx

=∫√(1-sin²θ)(cosθdθ)

=∫cos²θdθ

=∫(1+cos2θ)/2dθ=θ/2+(sin2θ)/4+C

=(arcsinx)/2+(sinθcosθ)/2+C

=(arcsinx)/2+(x√(1-x²))/2+C

=(1/2)[arcsinx+x√(1-x²)]+C

定积分：

把函数在某个区间上的图象[a，b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。