Question

已知f(x)=2sin（x+φ）+4sinφcosx，求它的最大值是多少？

如题。

Answer 1

f(x)=2sinxcosφ+2cosxsinφ+4sinφcosx
=2sinxcosφ+6cosxsinφ
最大值设为m=√[(2cosφ)²+(6sinφ)²]
=√(4cos²φ+36sin²φ)
=√(4+32sin²φ)
当sinφ=±1时，m的最大值为√36=6

Answer 2

f(x)=2sin（x+φ）+4sinφcosx=2sinφcosx+2cosφsinx+4sinφcosx=6sinφcosx+2cosφsinx=Msinx+Ncosx。其中M=2cosφ，N=6sinφ。

因此：f（x）=√（M²+N²）sin（x+β）。

M²+N²=（2cosφ）²+（6sinφ）²=4cos²φ+36sin²φ=4+32sin²φ。
cosβ=2cosφ/√（4+32sin²φ），sinβ=6sinφ/√（4+32sin²φ）。

f（x）max=√（4+32sin²φ）。因为f（x）为关于x的函数，φ在此处为一定值，所以结果就是这个表达式。