一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布是高考中一个重要的考点，也是一个难点。一般地，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，令 y=f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，则 f(x) 的零点就是方程 f(x)=0 的根，所以讨论一元二次方程根的分布，就是讨论 f(x) 零点的分布。记方程的两个实数根为 x1,x2，不妨设x1<x2。
一元二次方程根的分布可以从方程和二次函数两方面入手解决问题；从方程的角度来看，一般考虑用韦达定理去表示根的分布；从函数的角度看，主要从以下四个方面考虑根的分布：① 开口方向，② 判别式，③ 对称轴，④ 特殊点。
① 两实数根都大于 r，即 {x1>rx2>r
方程观点下的充要条件：{Δ≥0(x1−r)(x2−r)>0x1+x2>2r
第一个约束条件表示方程有两个根，第二个约束条件表示两根同时大于 r 或同时小于 r，第三个约束条件表示第二个条件里只有同时大于 r 成立。然后借助韦达定理表示出 x1+x2,x1x2 即可。
函数观点下的充要条件：{Δ≥0−b2a>ra⋅f(r)>0
函数的两个零点都大于r，函数图像大致为：
第一个约束条件表示函数有两个零点；从上图可以看出来，f(x) 的对称轴必定是在 r 的右侧，所以得到了第二个约束条件；因为 x1>r，所以当开口向上，即 a>0 时，f(r)>0，所以当开口向下，即 a<0 时，f(r)<0，综合起来就是 a⋅f(r)>0，即为第三个约束条件。其中实数 r 对应的点坐标就是特殊点。
② 两实数根都小于 r，即{x1<rx2<r
方程观点下的充要条件：{Δ≥0(x1−r)(x2−r)>0x1+x2<2r
第一个约束条件表示方程有两个根，第二个约束条件表示两根同时大于 r 或同时小于 r，第三个约束条件表示第二个条件里只有同时小于 r 成立。然后借助韦达定理表示出 x1+x2,x1x2 即可。
函数观点下的充要条件：{Δ≥0−b2a<ra⋅f(r)>0
函数的两个零点都小于r，函数图像大致为：
