Question

函数的有界性怎么理解

Answer 1

问题一：函数的有界性定义什么意思 这个定义还不怎么难理解。函数有界就是指在函数的定义域内，这个函数的所有函数值的绝对值不会比某个固定的正数M大。显然这个固定的正数M不是唯一的，比如若有一个正数M1满足条件，则任何一个大于M1的正数M2也满足条件，都可以作为定义里的固定数M，就像你举的例子sinx那样。至于为什么要用函数值得绝对值形式，是因为若没有绝对值，f(x) 问题二：关于函数局部有界性的理解问题 记住几个地方，现在说的是“局部”有界，而不是说“定义域”内有界。
就比方说，f（x）=1/x这个函数，在定义域内当然是无界的。这没啥疑惑的。
但是难道说，既然f（x）在定义域内有界，那么在定义域内的任何一个“局部”也就都有界？例如我们选择这样一些“局部”（1，+∞）；[2，3]；[-3，-2]等等
难道在这些“局部”区域内，f（x）也是无界的吗？
当然在这些“局部”内是有界的啦。
而这个“局部”的有界，和“整个定义域”内无界，不存在矛盾啊。

问题三：函数的有界性不唯一怎么理解？函数的有界性，是不是就相当于有最大值 应该意思就是说，有界函数的上界和下界都不是唯一的。是这个意思吧。
函数的上界的定义：如果函数f（x）始终满足f（x）≤m（m是常数）那么m就称为f（x）的上界。
函数的下界的定义：如果函数f（x）始终满足f（x）≥n（n是常数）那么n就称为函数的下界。
由上界和下界的定义可知，如果一个函数有f（x）≤m始终成立，那么f（x）≤m+1也必然始终成立，所以m+1也符合f（x）的上界的定义，此外m+2，m+0.4，m+100等等有无数个满足f（x）上界定义的数，所以这些数都是f（x）的上界。
同理，如果f（x）≥n始终成立，那么f（x）≥n-1也必然成立，所以n-1也符合f（x）下界的定义，此外n-2，n-4，n-0.2等等也有无数个满足f（x）下界定义的数，所以这些数都是f（x）的下界。
因此f（x）如果有上界和下界，则上界和下界不是唯一的，是各有无数个的。
而上界中，最小的那个，被称为上确界；下界中，最大的那个，被称为下确界。
上确界和下确界才是唯一的。