Question

换元法的例子

Answer 1

换元法的例子有：

一、 sin,cos 类三角换元：

x2+y2=1可以利用替换{x=sin⁡θy=cos⁡θ一般情况下，用于去根号，求极值，求积分等情形。

常见例子: 1−x2，∫1−x2dx，1+x （令 x=sin⁡2θ ，且 (sin⁡θ+cos⁡θ)2=1+sin⁡2θ ）。

伸缩形式：对于含有参数的形式a2x2+b2y2=c2(a,b,c>0)可以利用替换{x=acsin⁡θy=bccos⁡θ常见例子： c2−a2x2 。

二、 tan,cot 类三角换元：

基本形式：利用三角恒等式 tan2⁡θ+1=sec2⁡θ 或 cot2⁡θ+1=csc2⁡θ (不熟悉的同学可以验证一下)，对于等式x2−y2=1可以利用替换{x=sec⁡θy=tan⁡θ或{x=csc⁡θy=cot⁡θ常见例子： 1+x2 ， ∫11+x2dx 。

伸缩形式：对于含有参数的形式a2x2−b2y2=c2(a,b,c>0)可以利用替换{x=acsec⁡θy=bctan⁡θ或{x=accsc⁡θy=bccot⁡θ常见例子： c2+a2x2 。