Question

f(x)=ln(x^2+3x+2)展开成x的幂级数,并指出收敛半径

f(x)=ln(x^2+3x+2)展开成x的幂级数,并指出收敛半径
答案我有,展开式我知道,其中收敛半径R=1是怎么求的
两个收敛半径取小的一个是么?
不过lim|(an+1)/an|=lim|nx/(n+1)|=|x|，收敛半径R=1?为什么?收敛半径不是根据这极限值判断的么?x不确定的呀?
f(x)=ln(x^2+3x+2)=ln(1+x)+ln(2+x)
=∑(-1)^n[x^(n+1)]/(n+1)+∑(-1)^n[(x/2)^(n+1)]/(n+1)+ln2
第一个
lim|(an+1)/an|=lim|nx/(n+1)|=|x|
第二个
lim|(an+1)/an|=lim|nx/2(n+1)|=|x/2|
楼下算错了吧?但是有x怎么求R?

Answer 1

ln(x^2+3x+2)=ln(1+x)(2+x)=ln(1+x)+ln2(1+x/2)=ln(1+x)+ln(1+x/2)+ln2
其中ln(1+x)的收敛半径为1，ln(1+x/2)的收敛半径为2，故整个函数的收敛半径为1（在此区间内，ln(1+x)与ln(1+x/2)均收敛）。

注：ln(1+x)的收敛半径就是|x| =1.因此ln(1+x/2)的收敛半径就是)|x/2| =1，即|x|=2.

Answer 2

两个收敛半径取小的一个。较小的收敛半径R=lim|(a_n)/a_(n+1)|=lim|(n+1)/n|=1 。系数 an+1，an 都是不含x的。