Question

设直线Y=KX+K-1和直线Y=（K+1）X+K(K是正整数)与y轴围成的三角形面积为Sk，则SS

1+S2+S3+....+S2014的值为

Answer 1

答：两条直线的交点，kx+k-1=(k+1)x+k，得到x=-1，代入原式得到y=-1，即交点为(-1，-1)，
因为是与x轴所围面积，所以三角形的高恒为1，
直线y=kx+-1与x轴的交点,
kx+k-1=0，解得x=(1-k)/k，
直线y=(k+1)x+k与x轴的交点,
(k+1)x+k=0，解得x=-k/(k+1)，
两点之间的距离为(1-k)/k-[-k/(k+1)]=1/[k*(k+1)]，即三角形的底边长
所以三角形的面积Sk=(1/2)/[k*(k+1)]=(1/2)*[1/k-1/(k+1)]
S1+S2+S3+S4+......+S2011
=(1/2)*[(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+......(1/2011-1/2012)]
=(1/2)*(1-1/2012)
=2011/2024