Question

如图,正方形ABCD中,∠EAF=45°,求证 EF=BE+DF

Answer 1

你好：

证明：在CB的延长线上取点G，使BG＝DF，连接AG

∵正方形ABCD

∴AB＝AD，∠D＝∠ABG＝∠BAD＝90

∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD-∠EAF

∵∠EAF＝45

∴∠BAE+∠DAF＝45

∵BG＝DF

∴△ABG≌△ADF  （SAS）

∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF

∴∠GAE＝∠BAE+∠BAG＝∠BAE+∠DAF＝45

∴∠GAE＝∠EAF

∵AE＝AE

∴△AEG≌△AEF  （SAS）

∴EF＝GE

∴GE＝BE+BG＝BE+DF

∴EF＝BE+DF

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Answer 2

解答：延长CB到点G，使BG＝DF，连结AG，
∵正方形ABCD，∴AD＝AB，∠D＝∠ABG＝90°．
DF＝BG，∴△ADF≌△ABG，∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG．
∵∠DAF＋∠BAE＋∠EAF＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF＋∠BAE＝45°，∴∠BAE＋∠BAG＝45°．
即∠EAG＝45°，∴∠EAG＝∠EAF．
又AE＝AE，∴△EAF≌△EAG．
∴EF＝EG，又∵EG＝EB＋BG＝EB＋DF，
∴EF＝BE＋DF．
评析：本题实质是将△ADF以点A为旋转中心顺时针旋转90°到△ABG的位置，这样能将分散的线段BE、DF集中到一条线段上．
提示：
要证一条线段等于另外两条线段之和，一般采用“截长补短法”．