高等数学中关于微分方程的问题

请问齐次方程和一阶线性微分方程的区别是什么,具体可以解答下这一道题... 请问齐次方程和一阶线性微分方程的区别是什么,具体可以解答下这一道题 展开
匿名用户
2014-02-19
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如果对于函数y = y(x)来说的话,四个都不对。

齐次方程就是ƒ(y,y',y''...) = 0的形式,左边没有x项多项式,右边等于0

一阶线性方程就是方程中只能出现线性(直线)函数,没有曲线函数,并且导数最高次数是一阶

y' + P(x)y = Q(x),P(x)和Q(x)可以是任意的函数多项式组合

例如y = x,y = 5x + 6等,但不能有y = 1/x,y = x^2,y = e^x

①yy' = 2x^2 + 1

y' = 2x^2/y + 1/y,右边有1/y,所以是非线性

②y dx = (x + y^2) dy

1 = (x/y + y) * dy/dx,有x * 1/y项,非线性

③x dx = (x + y) dy

x = (x + y) * dy/dx,令u = x + y, du/dx = 1 + dy/dx

x = u * (du/dx - 1)

du/dx = x/u + 1,x * 1/u是非线性

④y' - xsiny = x,有曲线函数siny,非线性


一阶线性方程的例子

如y' = 5x + 7,y' = 5/x + 7依然是线性

如y' = 5y + 7,y' = 5/y + 7是非线性

如y' = 5y/x + 7,但y' = 5x/y + 7就变为非线性了

总之看到y^(n),n01的就是非线性


如果对于函数x = x(y)来说的话,唯有B正确

①yy' = 2x^2 + 1

y * dy/dx = 2x^2 + 1

dx/dy = y/(2x^2 + 1),x^2是非线性

②y dx = (x + y^2) dy

dx/dy = (x + y^2)/y = x/y + y,x * 1/y是线性,所以正确

③x dx = (x + y) dy

dx/dy = (x + y)/x = 1 + y/x,y * 1/x是非线性

④y' - xsiny = x

dy/dx = x + xsiny = x * (1 + siny)

dx/dy = 1/x * 1/(1 + siny),1/x是非线性


或者说,只有B能写成一阶线性方程x' + P(y)x = Q(y)的形式

y dx = (x + y^2) dy

x' - x/y = y

其中P(y) = - 1/y,Q(y) = y

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xujing19920814
2014-02-19 · TA获得超过232个赞
知道小有建树答主
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齐次方程百度百科定义:http://baike.baidu.com/link?url=L8a7qzfJlmvdYWh4ODEKmhh7Mpvr4ZiXE0z2rJpoppA21Z4BI8J6olIuIglE182608DgZAEVCf2JeuoJoPDafa
一阶线性微分方程的定义:
形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程,Q(x)称为自由项。
详细解释:
一阶,指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。
线性,指的是方程的每一项关于y、y'、y"的次数相等
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追问
谢谢,那我这道题怎么解?
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答案应该是B吧

符合定义


不符合定义


另外两项则直接看出不符合定义

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zoushaojiao
2014-02-19 · TA获得超过235个赞
知道小有建树答主
回答量:178
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帮助的人:59.9万
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这中类型的题,高数课本上很多,我就说说方法,你自己算吧,设y/x=u;x+y=u,这样就可以做出来了,试试看
更多追问追答
追问
我问的是如何判断是一阶微分方程,解法我自己会
追答
我晕,这个百度下到处是,高数上也有,一阶,二阶,高阶都有,粗略的讲,按最高导次算,如果高导次是一次就是一阶,你是大一的么?这个问题你问的让我有点意外,不说了,能理解就理解,不理解自己查吧,这个定义搞不清楚,微分方程就不要学了
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