Question

函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,当x=-1时,取得极大值8,当x=2时,取得极小值-19

求f(x)的表达式
当x∈[-2,3]时，求f(X)最值
要过程

Answer 1

f'(x)=3ax^2+2bx+c
由题意，x=-1,2分别为f'(x)=0的两个根,且a>0
两根和=1=-2b/(3a),得b=-1.5a
两根积=-2=c/(3a),得c=3a
f(-1)=-a+b-c+d=-a-1.5a-3a+d=-5.5a+d=8
f(2)=8a+4b+2c+d=8a-6a+6a+d=8a+d=-19
两式相减得：-2.5a=27, 得a=-10.8
故d=5.5a+8=-51.4
因此f(x)=-10.8x^3+16.2x^2-32.4x-51.4
在区间[-2,3],端点值f(-2)=164.6, f(3)=-294.4
比较极值及端点值得最大值为f(-2)=164.5,最小值为f(3)=-294.4

追问

= =算错了

追答

嗯，错得大错了。更正：
f'(x)=3ax^2+2bx+c由题意，x=-1,2分别为f'(x)=0的两个根,且a>0两根和=1=-2b/(3a),得b=-1.5a两根积=-2=c/(3a),得c=-6a
f(x)=ax^3-1.5ax^2-6ax+df(-1)=-a-1.5a+6a+d=3.5a+d=8f(2)=8a-6a-12a+d=-10a+d=-19两式相减得：13.5a=27, 得a=2故d=8-3.5a=1因此f(x)=2x^3-3x^2-12x+1在区间[-2,3],端点值f(-2)=-16-12+24+1=-3
f(3)=54-27-36+1=-8比较极值及端点值得最大值为f(-1)=8,最小值为f(2)=-19