Question

罗尔定理，拉格朗日中值定理，在证明比较大小题目中的应用

Answer 1

定理

若函数在区间满足以下条件：

拉格朗日中值定理的几何意义
1.在上可导；
2.在上连续；
则必有一，使得。
在上可导，上连续是拉格朗日中值定理成立的充分条件。
2理解

这个定理说的是什么
1.在满足定理条件的前提下，函数f(x)上必有一点的切线与在处对应的两点和点的连线平行），等号后为对应两点的连线斜率，等号前为上一点的导数的值，也就是上一点的斜率，两斜率相等，两线平行。这是几何上的理解方式。
2.我们将函数求导，得到，众所周知f'(x)函数记录的其实就是函数在每一个瞬间的变化状态。即，在这一瞬间进行了程度为的变化，在这一瞬间进行了程度为的变化……。函数由变化到的过程，其实就是函数在区间中记录的变化状态的依次累加，就是对函数在区间的值进行积分的过程。那么，将这一过程中所有的变化状态的值一起取一个平均，这个平均值的数值一定在的某一点上出现过（即），因为连续，则其导数也连续。这个平均值乘上变化的区间（a到b）的长度 就等于这个 变化的变化量。即所谓的必有一，使。即，上函数的变化量=内函数变化状态的平均值乘以区间长度。这是代数理解方式。[1]
3其它形式

令为y，则该公式可写成

上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式， 因此本定理也叫有限增量定理。

4证明

证明:
把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)= a)}x.
做辅助函数
易证明此函数在该区间满足条件:
1.;
2.在连续;
3.在可导.
此即罗尔定理。
5几何意义

若连续曲线在两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在1点,使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。
6物理意义

对于曲线运动，在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速度等于这个过程中的平均速度。
7推论

如果函数在区间Q上的导数恒为零，那么函数在区间Q上是一个常数。
证明：
由于已知，即
这就是说，在区间内任意两点的函数值都相等。因此函数在区间内是一个常数。