Question

微积分的题目，望大神解答，特别是和函数的求法还有二重积分化为极坐标的方法

Answer 1

　　工作量太大，只做关键部分：

1.和函数求法，分两部分求，(1)s1(x)=Σ[1,+∞]x^n,  (2)s2(x)=2xΣ[1,+∞]nx^(n-1)

　　显然：s1(x)=x/(1-x)   x∈(-1,1)

　　再求s2(x)  考虑 Σ[1,+∞]x^n=x/(1-x)

　　逐项微分得：Σ[1,+∞]nx^(n-1)=[x/(1-x)]'=(1-x+x)/(1-x)^2=1/(1-x)^2 x∈(-1,1)

　　∴s2(x)=2x/(1-x)^2     x∈(-1,1)

　　从而得：

　　（1）收敛域：（-1，1）

　　（2）和函数：S(x)=x/(1-x) +2x/=(3x-x^2)/(1-x)^2

　　（3）数项级数实际上是函数项级数当x=1/3时的特例，所以收敛于：(3*1/3-1/9)/(1-1/3)^2=2

2.二重积分问题，

　　先看积分区域：D：x^2+(y-1)^2=1    x^2+(y-2)^2=2^2  既然是直线，另两个应是：y=x  y=√3x

　　画图：

                         

　　选用极坐标：原式=∫[π/4,π/3]dθ∫[2cosθ,4cosθ]ρ^3dρ

　    　=1/4∫[π/4,π/3]ρ^4[2cosθ,4cosθ]dθ

　    　=60∫[π/4,π/3](cosθ)^4dθ

　    　=60[7/64*√3+π/32-1/4]

　    　=105/16*√3+15π/8-15

只做关键部分已经花了大量时间，实在不易，万望采纳！！

Answer 2

我画的图像大概是这样的，不知道对不对呢？

追问

大神，你是大神，先跪一个，T^T大神，有一个地方我不明白，书上也总是直接出来没过程，就是，和函数那里，你解答的第二行后面不是把X³提出来的那一步，X的2N次方为什么会变成后面的(1-x²)分之一?

追答

因为要背公式的。
Σ( n = 0 to n = ∞ ) x^n = 1/(1 - x)
这是等比数列，首项为1，公比为x
所以根据等比数列的部分和公式得Σ x^n = 1 * (1 - x^n)/(1 - x)
由于|x| < 1，取n→∞时分子1 - x^n → 1
所以结果变为1/(1 - x)
取n = 2n时结果为1/(1 - x^2)

看我答得这么完整，给个采纳吧!
如果是考试的话这里每题最多只能花10分钟去完成，因为这些都算是小题目，占分不会太多
若是压轴难题就不会出得这么明显了，这些一看就可以立刻下笔去做，而难题一定得要经过思考的
所以你需要不断去熟练，提高计算速度，这些小菜就不要花太多时间了

追问

谢谢大神T^T