Question

数列{an}中a1=4/3，a（n+1）=an^2-an+1(n∈N*），则（1/a1）+（1/a2）+(1/a3)+…+(1/a2013)的整数部分是

数列{an}中a1=4/3，a（n+1）=an^2-an+1(n∈N*），则（1/a1）+（1/a2）+(1/a3)+…+(1/a2013)的整数部分是

Answer 1

想了半小时...画图画了10分钟  回答这种问题最费劲。。不过有点挑战性。

这里a2014的范围还可以用二项式展开分析可以确定不等式右边是远远大于2的，后面确定范围要用。

所以它的整数部分应该是2.

回去可以跟你的同学好好讨论这一类 递归关系式如何处理，这常常是难点也是考点，因为不常规却有规律可循。

我的心得是找特征值（令 递归关系式中的an和an+1都为r，解方程算出r的值，称它为特征值），然后利用特征值变形。

希望可以帮到你。

Answer 2

由题知，a(n+1)-1=a(n)*(a(n)-1),1/(a(n+1)-1)=1/[a(n)*(a(n)-1)=1/(a(n)-1)-1/a(n);
得1/(a(n)-1)-1/(a(n+1)-1)=1/a(n)，通过累加的方法得，
1/a1+1/a2+……+1/a2013= 1/(a1-1)-1/(a2014-1)=3-1/(a2014-1)
由a(n+1) - a(n)=(a(n)-1)^2≥0 ,即a(n+1)≥a(n), 由a1=4/3,得a2=13/9,得a3=133/81,a4=2又254/6815.
所以，a2014≥a2013≥a2012≥……≥a4>2,即 0<1/(a2014-1)<1
记s=1/a1+1/a2+……+1/a2013= 1/(a1-1)-1/(a2014-1)=3-1/(a2014-1)=3-1/(a2014-1),即2<s<3 ， 所以s的整数部分为2。