Question

已知函数f(x)=2a*4^x-2^x-1 )当a=1时，求函数f(x)在x∈[-3,0]的值域；

2）若关于x的方程f(x)=0有解，求a的取值范围。

Answer 1

1）f(x)=2*4^x-2^x-1=2*(2^x)^2-2^x-1=2(2^x-1/4)-9/8
x∈[-3,0]时，2^x∈[1/8,1],
则f(x)在[-3,0]上最小值为2^x=1/4时，f|min=-9/8
最大值为2^x=1时，f|max=2(1-1/4)^x-9/8=0
即值域为[-9/8,0]
2)f(x)=2a*(2^x)^2-2^x-1=0有解，
令t=2^x,则t>0,即f(t)=2at^2-t-1=0在t>0上有解
i)delta=0，即1+4*2a=0,a=-1/8，解t=1/(2*2a)=-2,不符合条件
ii)delta>0,即1+4*2a>0,a>-1/8,只需要x1x2=-1/(2a)>0,就能保证在t>0上有解，因为两个解中要么都大于0，要么一个大于0一个小于0，即a<0,与a>-1/8求交集，得-1/8<a<0
综上a的范围为-1/8<a<0