Question

图，梯形ABCD中，AD平行BC，BC＞AD，E、F分别是AD，BC中点，∠B+∠C=90°，证明：EF=1/2(BC-AD)

Answer 1

过B作BM//CD交DA延长线于M，延长CB至G，角MBG=角C，角C+角ABC=90度，

角MBG+角ABC=90度，所以角ABM=90度，取AM的中点N，则，BN=AN=1/2AM，因AD//BC，

BM//CD，所以，四边形BCDM是平行四边形，所以，MD=BC，BC-AD=MD-AD=AM

BN=1/2AM，又因NE//BF，，F为AC中点，BF=1/2BC，E为AD中点，AE=1/2AD，

NE=AN+AE=1/2ND=1/2BC=BF，所以四边形BFEN是平行四边形，所以，EF=BN

即，EF=BN=1/2AM=1/2（BC-AD）

Answer 2

证明：
做EM//AB，EN//CD ，分别交BC于M、N
则∠B=∠EMN，∠C=∠ENM，且AE=BM，ED=NC
∵B+C=90°
∴∠EMN+∠ENM=90°
∴△EMN为直角三角形
∵BF=FC BM=AE 

NC=ED AE=ED 

∴BM=NC
∴MF=FN
∴F点为线段MN的中点
又∵MEN为直角三角形 
∴EF=1/2MN （斜边上的中线等于斜边的一半）

而MN=BC-BM-NC=BC-AE-ED=BC-（AE+ED）=BC-AD
∴EF=1/2（BC-AD）

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