Question

空间向量的面积问题

1，a=(1,1,1) b=(-1,0,2) 求围成平行四边形面积
2， 平行于此平行四边形的平面且过点（0，0，1）的 方程式

Answer 1

方法1：利用向量的数量积
a·b=(1,1,1)·(-1,0,2)=-1*1+0*1+2*1=1
|a|=根号(1^2+1^2+1^2)=根号3
|b|=根号[(-1)^2+0^2+2^2]=根号5
设a,b夹角为α,则cosα=(a·b)/(|a|*|b|)=1/根号15
所以sinα=根号（1-cos^2α)=根号14/根号15
所以平行四边形的面积=|a|*|b|*sinα=根号15*根号14*/根号15=根号14
设向量a，b构成的平行四边形所在平面的法向量为(1,x,y)，则有(1,1,1)·(1,x,y)=0，（-1,0,2)·(1,x,y)=0，所以1+x+y=0,-1+2y=0,所以x=-3/2,y=1/2
即法向量为(1,-3/2,1/2)
设过点(0,0,1)且与上面的平行四边形平行的平面上任一点为(x,y,z)，则向量(x-0,y-0,z-1)与此平面的法向量垂直，
所以有(x,y,z-1)·(1,-3/2,1/2)=0
即x-3/2y+1/2z-1/2=0即2x-3y+z-1=0
这就是所求平面的方程。

方法2：利用向量的外积
a×b=
|i j k|
|1 1 1|=|1 1|+|1 1| |1 1|
|-1 0 2| |0 2|i|2 -1|j+ |-1 0||k=2i-3j+k
所以平行四边形的面积=|a||b|sin<a,b>=|a×b|=根号[2^2+(-3)^2+1^2]=根号(4+9+1)=根号14
而a×b就是a,b构成的平行四边形所在平面的法向量
平面方程的求法同方法1