Question

已知数列{an}的首项a1=1,且满足an+1=an/2an+1(n∈N*)

（1）求证：数列{1/an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式
（2）记bn=2^n/an，求数列{bn}的前n项和Tn

Answer 1

(1)
a(n+1)=an/(2an+1)
1/a(n+1)=(2an+1)/an=1/an +2
1/a(n+1)-1/an=2，为定值
1/a1=1/1=1，数列{1/an}是以1为首项，2为公差的等差数列
1/an=1+2(n-1)=2n-1
an=1/(2n-1)
n=1时，a1=1/(2×1-1)=1，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=1/(2n-1)
(2)
bn=2ⁿ/[1/(2n-1)]=2ⁿ·(2n-1)
Tn=b1+b2+...+bn=1×2+3×2²+5×2³+...+(2n-1)×2ⁿ
2Tn=1×2²+3×2³+...+(2n-3)×2ⁿ+(2n-1)×2^(n+1)
Tn-2Tn=-Tn=2+2²+...+2ⁿ-(2n-1)×2^(n+1)
=2×(2ⁿ-1)/(2-1)-(2n-1)×2^(n+1)
=(1-n)×2^(n+2) -2
Tn=(n-1)×2^(n+2) +2