Question

椭圆的一个光学性质为:光线由一个焦点射出经椭圆壁反射后必然经过另一个焦点

Answer 1

方程 x^2/a^2+y^2/b^2=1 证明：
①假设椭圆x�0�5/a�0�5 + y�0�5/b�0�5 = 1 有任一点M(x,y)，M点法线与F1M夹角 如果等于M点法线与F2M夹角，则满足光的反射定律，下面证明这两个夹角相等。

②因为法线与该点切线垂直，故此，先求切线斜率：
（要用到微分的知识）
对x�0�5/a�0�5 + y�0�5/b�0�5 = 1 两端微分：
2x dx/a�0�5 + 2y dy/b�0�5 = 0
dy/dx = - b�0�5x/a�0�5y
这是切线的斜率，法线与切线垂直，所以法线斜率k=a�0�5y/b�0�5x 。

③将x-o-y平面看成是复平面，则法线N上单位复数表示为n，如果F1M上的单位复数是L1，直线F2M上的单位复数是L2，根据复数相乘规则，复数角度相加：
L1 * L2 ---（如果L1的角度是α，L2的角度是β，L1 *L2的角度 = α + β）
n�0�5 ---（如果n的角度是γ，则n�0�5的角度就是2γ）
先在法线N上截取一个复数（模大小不影响方向）: N=b�0�5x + a�0�5y.i
N�0�5
=(b�0�5x + a�0�5y.i)�0�5
=b^4 * x�0�5 - a^4 * y�0�5 + 2a�0�5b�0�5xy.i
=[(b^4 * x�0�5 + a�0�5b�0�5y�0�5 ) - a�0�5b�0�5y�0�5] - [a^4 * y�0�5 + a�0�5b�0�5x�0�5] + a�0�5b�0�5x�0�5 + 2a�0�5b�0�5xy.i ---- 配项
=b�0�5(b�0�5x�0�5 + a�0�5y�0�5) - a�0�5b�0�5y�0�5 - a�0�5(a�0�5y�0�5 + b�0�5x�0�5) + a�0�5b�0�5x�0�5 + 2a�0�5b�0�5xy.i
=b�0�5*a�0�5b�0�5 - a�0�5b�0�5y�0�5 - a�0�5*a�0�5b�0�5 + a�0�5b�0�5x�0�5 + 2a�0�5b�0�5xy.i

N�0�5/a�0�5b�0�5 = b�0�5 -a�0�5 + (x�0�5 -y�0�5 + 2xy.i)
=(x + y.i)�0�5 -c�0�5
=(x + y.i + c)(x + y.i -c)

点M的复数表示是 x + y.i， x + y.i -c 代表矢量F1M，x + y.i + c代表矢量F2M

因此 N�0�5/a�0�5b�0�5 = K * L1 * L2 （K是实数）
法线单位矢量 n�0�5 = L1 * L2
2γ = α + β
γ = (α + β)/2

法线是∠F1MF2的角平分线。