Question

北京高考导数题

设l为曲线c:y=lnx/x,在(1,0)处的切线
(1)求l的方程。
(2)证明：除切点（1，0）之外，曲线c在直线l的正下方。
我只问一下，第二问可以设g（x）=x-1-lnx/x，然后求导，同时得出g（1）=0，在0＜x＜1时，g‘（x）＜0，然后我就不会了，答案是怎么得出g（x）＞g（1）=0的，导函数小于0，原函数不是单减吗，怎么就知道大于0，同时在x＞1时，怎么也能得出g（x）＞0这个结论
行了，想明白了

Answer 1

分析：
第一份我就不做了：L方程是y=x-1
第二份是这样来的，要证明除切点（1，0）之外，曲线c在直线L的正下方,只要证明对任意x>0都有x-1>lnx/x成立即可，分2种情况来证，一是证0<x<1情形，二是证x>1情形。
因为g(x)=x-1-lnx/x
g`(x)=1-(1-lnx)/x²=(x²-1+lnx)/x²
1、
当0<x<1时，x²-1+lnx<0，于是g`(x)<0
即g(x)在0<x<1上是减函数
由x<1得g(x)>g(1) (这是减函数性质）
又g(1)=0
即g(x)>0
即x-1-lnx/x>0
即x-1>lnx/x成立
曲线c在直线L的正下方
2、
当x>1时，x²-1+lnx>0，于是g`(x)>0
即g(x)在x>1上是增函数
由x>1得g(x)>g(1) (这是增函数性质）
又g(1)=0
即g(x)>0
即x-1-lnx/x>0
即x-1>lnx/x成立
曲线c在直线L的正下方
综上所述：对任意x>0都有x-1>lnx/x成立，即曲线c在直线L的正下方

Answer 2

我来帮你解答！