Question

概率论二维正态分布问题，黄色标记的两句话很矛盾，求解释

Answer 1

意思是，

X,Y都服从正态分布->联合分布未必是正态分布
举的例子很明显，
密度函数((1+sinxsiny)/2π)e^((-x^2-y^2)/2)
但是分别按y,x积分得到X,Y的边缘密度都是正态分布，积分不会请私信我，这很基本的东西我觉得如果你不会就是老师失职
（这里，X和Y不是相互独立的随机变量，区别就在这）

X,Y都服从正态分布且相互独立时，它们的联合分布为边缘分布相乘
f(x,y)=fx(x)*fy(y)
所以联合分布一定是二维正态分布
函数图像是一个以(ux,uy)为中心的椭草帽
方差相等时是圆草帽

------------------------------------------------------------------------------------------------------
X,Y都服从正态且不独立，也不能说明联合分布一定不是正态分布
这个时候联合分布可能是正态分布(轴不正的椭草帽，也就是和标准的比较有旋转)，也可能是别的分布

追问

我想问的是，相关系数为0，和x、y相互独立难道不是等价的吗

追答

x,y相互独立->相关系数为0
相关系数不为0->x,y不独立

但是
相关系数为0->x,y相互独立 这个命题是错误的
可以不相关也不独立
举个例子
f(x,y)=1/π (x^2+y^2相互独立,这是双向命题，充要条件)

因为圆内密度的均匀性，E(X)=E(Y)=0
E(XY)=0 (1,3象限相互抵消，2,4象限相互抵消)

给你show下E(XY)计算过程，其实考试没必要写
E(XY)=∫xy/π DA
用r(半径),t(角度) 代换
=∫(0~2π)∫(0~1)(rcost)(rsint) (rdrdt)
= {∫(0~1)r^3dr} {∫(0~2π)sin2t/2dt}
=1/3*(-cos2t/4 (0~2π))
=0
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0
相关系数为0，但仍然不独立

Answer 2

超出我的数学范畴。。。。。表示概统只学了一维，果然大神学的都不一样