Question

已知a,b,c是正数，a+b+c=1,证明（a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)

已知a,b,c是正数，a+b+c=1,证明（a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2≥100/3

Answer 1

证明如下：
[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2]*(1+1+1)>=(a+b+c+1/a+1/b+1/c)^2 (柯西不等式)
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2 >=[(1+1/a+1/b+1/c)^2]/3
因为 3/(1/a+1/b+1/c)<=(a+b+c)/3=1/3 (基本不等式)
所以 1/a+1/b+1/c>=9
所以 (a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2 >=[(1+9)^2]/3=100/3

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