Question

如图在Rt△ABC中,角ACB=90°,CD⊥AB于点D,角CAB的平分线AE交CD于点F,交CB于点E.求证AF·CB=CD·AE

Answer 1

证明：过点F作FH垂直于AB于H,连结EH.
因为 角ACB=90度，AF平分角CAB,
所以 FH=FC(角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等），
又因为 AF=AF,
所以 直角三角形ACF全等于直角三角形AHF(斜边，直角边），
所以 AC=AH,
因为 AF平分角CAB,AE=AE,
所以 三角形ACE全等于三角形AHE(边，角，边），
所以 角ACD=角AHE,
因为 在直角三角形ABC中，角ACB=90度，CD垂直于AB于D,
所以 三角形ACD相似于三角形ABC,
所以 角ACD=角B,
所以 角AHE=角B,
所以 EH//BC,
因为 EG//AB,
所以 四边形GEHB是平行四边形，
所以 EH=GB,
因为 FH垂直于AB, CD垂直于AB,
所以 FH//CD,
又 EH//BC,
所以 四边形CEHF也是平行四边形，
所以 EH=CF,
所以 CF=GB。