Question

如图，平行四边形ABCD中，角DBC=45度，高线DE，BF交于点H，BF，AD的延长线交于点G。

如图，平行四边形ABCD中，角DBC=45度，高线DE，BF交于点H，BF，AD的延长线交于点G。联结AH
（1）证：AH*BG=AG*BD

Answer 1

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ADB=∠DBC=45°，
∴AB∥DC，
∴∠ABH=∠BFC=90°，
∵AB=BH，
∴∠BHA=∠BAH=45°，
∵∠GDB+∠ADB=180°，∠CHA+∠AHB=180°
∴∠GHA=∠GDB，
又∵∠G=∠G，
∴△GHA∽△GDB，
∴GA /GB＝AH /BD ，
即AH•BG=AG•BD．

Answer 2

∵HF⊥CF、HE⊥CE，∴C、E、H、F共圆，∴∠DHF＝∠BCD。
∵ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，∴∠DHF＝∠BAD，∴A、B、H、D共圆，
∴∠HAG＝∠DBG，又∠AGH＝∠BGD，∴△AHG∽△BDG，∴AH/BD＝AG/BG，
∴AH·BG＝AG·BD。