Question

已知f（x）=（e^x—a）^2+（e^-x—a）^2（a>=0）。

1.将f（x）表示成u=（e^x+e^-x）/2的函数； 2.求f（x）的最小值。

Answer 1

解（1）f(x)=（e^x—a）^2+（e^-x—a）^2 =(e^x)^2-2ae^x+a^2+(e^-x)^2-2a(e^-x)+a^2 =(e^x)^2+(e^-x)^2+2a^2-(2ae^x+2ae^-x) =(e^x+e^-x)^2-2e^xe^-x-2a(e^x+e^-x)+2a^2 =(2u)^2-2-4au+2a^2 f(u)=4u^2-4au+2a^2-2 (2)e^x+e^-x≥2 u≥1 a≥0 f(u)'=8u-4a=0 u=a/2 f(u)min=f(a/2)=4*a^2/4-2a^2+2a^2-2 =a^2-2 f(a/2)= (2)