Question

线性代数：关于用相似对角化反求A的问题

A是实对称矩阵，已经求出了由特征值构成的与A相似的对角矩阵B,由特征向量构成的但没有单位正交话的矩阵P，已经单位正交化的矩阵Q,
我的问题是：用P和P的逆矩阵反求出的A=PBP^(-1)是否等于用Q及其转置Q^T反求出的A'=QBQ^T。我做题的时候觉得是相等的 就按照后面的一种来做的，参考答案是按照前一种做的，我的结果和答案不相同。

Answer 1

如果特征值没对应错的话, 答案应该是一样的.
对于实对称阵A, P和Q都是由其特征向量构成的可逆矩阵.
因此P^(-1)AP与Q^(-1)AQ是对角阵.
只要保证特征值顺序一致, 就有P^(-1)AP = Q^(-1)AQ = B.
于是当然有A = PBP^(-1) = QBQ^(-1).

需要注意的一个问题Q的各列需与B的特征值相对应.
另一个问题是由P正交化得到Q的操作是对列向量进行,
而且只对属于同一特征值的向量操作.
(当然, 属于不同特征值的特征向量彼此正交, 因此做了也没区别).
暂时只能想到这些可能出问题的地方, 你再检查一下计算?