Question

已知数列an满足a1=1,an=3^n+2an-1(n>=2).求an

Answer 1

解 解：已知 a1+a2+a3+…+an=n^2an, (1)
a1+a2+....+an-1=(n-1)^2a(n-1 ) (2)
1)-2)得： an=n^2an-(n-1)^2a(n-1)
化简得 an=(n-1/n+1)a(n-1)
a1=1/2
a2=1/2*1/3=1/6=1/2*(2+1)
a3=1/6*(3-1)/(3+1)=1/12=1/3*(3+1)
...
an= 1/n(n+1)
证明：a1+a2+...+an=1/2+1/6+1/12+...+1/n(n+1)
=1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+..+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)
=n^2*/n(n+1)
=n^2an
所以 an=1/n(n+1) 对一切自然数n都成立

Answer 2

an=3^n+2a(n-1)
an- 3.3^n = 2[ a(n-1) - 3.3^(n-1) ]
=> { an - 3.3^n} 是等比数列, q=2
an-3.3^n =2^(n-1) .(a1- 3.3^1)
=-4.2^n
an = 3.3^n - 4.2^n