Question

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）△COD是什么三角形？说明理由；（2）若AO=n 2 +1，AD=n 2 -1，OD=2n（n为大于1的整数），求α的度数；（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

（1）△COD是等边三角形． 理由如下：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC， ∴CO=CD，∠OCD=60°， ∴△COD是等边三角形； （2）∵AD 2 +OD 2 =（n 2 -1） 2 +（2n） 2 =n 4 -2n 2 +1+4n 2 =n 4 +2n 2 +1 =（n 2 +1） 2 =AO 2 ， ∴△AOD是直角三角形，且∠ADO=90°， ∵△COD是等边三角形， ∴∠CDO=60°， ∴∠ADC=∠ADO+∠CDO=90°+60°=150°， 根据旋转的性质，α=∠ADC=150； （3）∵α=∠ADC，∠CDO=60°， ∴∠ADO=α-60°， 又∵∠AOD=360°-110°-α-60°=190°-α， ∴∠DAO=180°-（190°-α）-（α-60°）=180°-190°+α-α+60°=50°， ∵△AOD是等腰三角形， ∴①∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°， 解得α=125°， ②∠AOD=∠DAO时，190°-α=50°， 解得α=140°， ③∠ADO=∠DAO时，α-60°=50°， 解得α=110°， 综上所述，α为125°或140°或110°时，△AOD是等腰三角形．