Question

如图，已知：一次函数：y=-x+4的图象与反比例函数：y=3x（x＞0）的图象分别交于A、B两点．点M是一次函数

如图，已知：一次函数：y=-x+4的图象与反比例函数：y=3x（x＞0）的图象分别交于A、B两点．点M是一次函数图象在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图象上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2；（1）若设点M的坐标为（x，y），请写出S1关于x的函数表达式，并求出S1的最大值及相应的x的值；（2）填空：①当S1=S2时，x=______；②当S1＞S2时，x的取值范围是______；③当S1＜S2时的取值范围是______．

Answer 1

（1）根据题意，S₁=xy=x（-x+4），
=-x²+4x，
=-（x-2）²+4，
∴S₁关于x的函数表达式为：S₁=-（x-2）²+4，
当x=2时，S₁的最大值，最大值为4；

（2）根据二次函数的增减性，当x＜2时，S₁的值随x的增大而增大，
当x＞2时，S₁的值随x的增大而减小，
∴①当S₁=S₂时，-x²+4x=3，
x²-4x+3=0，
（x-1）（x-3）=0，
∴x-1=0，x=3，
解得x₁=1，x₂=3，
②当S₁＞S₂时，1＜x＜3；
③直线y=-x+4与x轴的交点坐标为（4，0），
∴当S₁＜S₂时，0＜x＜1或3＜x＜4．
故答案为：（1）S₁=-（x-2）²+4；（2）①1或3，②1＜x＜3，③0＜x＜1或3＜x＜4．