Question

如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC、AC、AB分别切于D、E、F．（1）求证：BF=CE；（2）若∠C=30°，C

如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC、AC、AB分别切于D、E、F．（1）求证：BF=CE；（2）若∠C=30°，CE=2 3 ，求AC．

Answer 1

（1）证明：∵AE，AF是⊙O的切线； ∴AE=AF， 又∵AC=AB， ∴AC-AE=AB-AF， ∴CE=BF，即BF=CE． （2）连接AO、OD； ∵O是△ABC的内心， ∴OA平分∠BAC， ∵⊙O是△ABC的内切圆，D是切点， ∴OD⊥BC； 又∵AC=AB， ∴A、O、D三点共线，即AD⊥BC， ∵CD、CE是⊙O的切线， ∴CD=CE=2 3 ， 在Rt△ACD中，由∠C=30°，CD=2 3 ，得 AC= CD cos30° = 2 3 3 2 =4．