Question

如图，PB切⊙O于B点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO交⊙O于点

如图，PB切⊙O于B点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO交⊙O于点C，连结BC，AF． （1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）若BC＝6， ∶ =1∶2，求⊙O的半径的长．

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Answer 1

（1）连接OB，根据切线的性质可得∠PBO＝90°，再有OA＝OB，BA⊥PO于D，公共边PO可证得△PAO≌△PBO，即得∠PAO＝∠PBO＝90°，从而可以证得结论；（2）5

试题分析：（1）连接OB，根据切线的性质可得∠PBO＝90°，再有OA＝OB，BA⊥PO于D，公共边PO可证得△PAO≌△PBO，即得∠PAO＝∠PBO＝90°，从而可以证得结论； （2）设AD＝x，根据 ∶ =1∶2，即可表示出FD＝2x，OA＝OF＝2x－3，在Rt△AOD中，根据勾股定理即可列方程求解． （1）如图，连接OB ∵PB是⊙O的切线 ∴∠PBO＝90° ∵OA＝OB，BA⊥PO于D ∴AD＝BD，∠POA＝∠POB 又∵PO＝PO ∴△PAO≌△PBO ∴∠PAO＝∠PBO＝90° ∴直线PA为⊙O的切线； （2）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6 ∴OD＝ BC＝3 设AD＝x ∵ ∶ =1∶2 ∴FD＝2x，OA＝OF＝2x－3 在Rt△AOD中，由勾股定理得(2x－3) 2 ＝x 2 ＋3 2 解得x 1 ＝4，x 2 ＝0（不合题意，舍去） ∴AD＝4，OA＝2x－3＝5 即⊙O的半径的长5． 点评：解答本题的关键是熟练掌握切线垂直于经过切点的半径，注意勾股定理在圆中的灵活应用.